이것이 코딩 테스트다 | 9장 최단경로 (1/2)
최단 경로(Shortest Path)알고리즘은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다. 그래서 '길 찾기'문제라고도 불린다.
컴퓨터 공학과 학부 수준에서 사용되는 최단 경로 알고리즘은 다익스트라, 플로이드 워셜, 벨만 포드 이렇게 3가지이다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘
다익스트라는 그래프에서 여러개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 다익스트라 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다. 음의 간선이란 0보다 작은 값을 가지는 간선을 의미하는데, 현실 세계의 길(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않으므로 다익스트라 알고리즘은 실제로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되곤 한다.
다익스트라 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. 매번 '비용이 가장 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다. 알고리즘의 원리를 간략히 설명하면 다음과 같다.
1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4.해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3과 4번을 반복한다.
다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다. 매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다. 나중에 현재 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면 '더 짧은 경로도 있었네? 이제부터 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 판단하는 것이다.
따라서 방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인해 그 노드에 대해서 4번 과정을 수행한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 볼 수 있다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 '방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택'하는 과정을 반복하는데, 이렇게 선택된 노드는 '최단 거리'가 완전히 선택된 노드이므로, 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다. 다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.
우선 간단한 다익스트라 알고리즘 소스코드를 보자.
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
n, m = map(int, input().split())
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph =[[] for _ in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a,b,c = map(int, input().split())
graph[a].append((b,c))
# 방문하지 않은 노드중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드 (인덱스)
for i in range(1, n+1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n-1):
# 최단 거리가 가장짧은 노드를 꺼내서, 방문처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
dijkstra(start)
for i in range(1, n+1):
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
else:
print(distance[i])
다음으로 개선된 다익스트라 알고리즘을 알아보자. 다익스트라 알고리즘을 간단하게 구현하면 시간 복잡도가 O(V2)이다. 하지만 지금 배우는 구현 방법을 사용하면 다익스트라 최단 경로 문제를 촤악의 경우에도 시간복잡도 O(ElogV)를 보장하여 해결할 수 있다.
간단한 다익스트라 알고리즘은 '최단 경로가 가장 짧은 노드'를 찾기 위해서, 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로 (모든 원소를 앞에서부터 하나씩) 탐색해야 했다. 이 과정에서만 O(V)의 시간이 걸렸다. 하지만 최단 거리가 가장 짧은 노드를 단순히 선형적으로 찾는 것이 아니라 더욱더 빠르게 찾을 수 있다면 어떨까? 알고리즘의 시간 복잡도를 더욱 줄일 수 있을 것이다.
개선된 다익스트라 알고리즘에서는 힙 자료구조를 사용한다. 힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다.
힙 자료 구조에 대해서 간단히 알아보자. 힙 자료구조는 우선 순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조중 하나이다. 우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 먼저 삭제한다는 점이 특징이다. 이러한 우선 순위 큐는 데이터를 우선 순위에 따라 처리하고 싶을 때 사용한다. 예를 들어 여러개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터 부터 꺼내서 확인해야 하는 경우를 가정해보자. 이런 경우에 우선순위 큐 자료구조를 이용하면 효과적이다.
파이썬에서 우선순위 큐가 필요할 때 PriorityQueue 혹은 heapq를 사용할 수 있는데, 이 두 라이브러리는 모두 우선순위 큐 기능을 지원한다.
우선 순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙(Min Heap) 또는 최대힙 (Max Heap)을 이용한다. 최소 힙을 이용하는 경우 '값이 낮은 데이터가 먼저 삭제'되며, 최대 힙을 이용하는 경우 '값이 큰 데이터가 먼저 삭제' 된다. 파이썬 라이브러리에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 이용하는데 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합하다. 또한, 최소힙을 최대힙처럼 사용하기 위해서 일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호(-)를 붙여서 넣었다가, 나중에 꺼낸 다음에 다시 음수 부호(-)를 붙여서 원래의 값으로 돌리는 방식을 사용할 수 있다.
최소 힙을 이용하는 경우 힙에서 원소를 꺼내면 '가장 작은 원소'가 추출되는 특징이 있으며 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리는 최소 힙에 기반한다는점을 기억하자.
앞선 코드와 비교했을 때 get_smallest_node()라는 함수를 작성할 필요가 없고, 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체 할 수 있다.
import heapq, sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int,input().split())
start = int(input())
graph = [[] for _ in range(n+1)]
distance = [INF] * (n+1)
for _ in range(m):
a,b,c = map(int, input().split())
graph[a].append((b,c))
def dijkstra(start):
q = []
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY) 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
else:
print(distance[i])